DHBW_AI_16/Rechnerarchitektur_Roethig
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[Kapitel] Korrigiere inkorrekte O-Notation

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Andre Meyering 2017-11-06 12:23:27 +01:00
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Kapitel/02_Rechner.tex
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@ -583,13 +583,18 @@ Für den Aufwand für die $c_{in_i}$-Berechnung gilt die Annahme, das Schaltnetz
\begin{itemize}[noitemsep] \begin{itemize}[noitemsep]
\item[$\Rightarrow$] Für jedes $c_{in_i}$ gibt es insgesamt $2i$ Eingänge. \item[$\Rightarrow$] Für jedes $c_{in_i}$ gibt es insgesamt $2i$ Eingänge.
\item[$\Rightarrow$] Insgesamt max. $2^{2i}$ verschiedene Vollkonjunktionen, welche in der \acs{DNF} auftreten können. \newline \item[$\Rightarrow$] Insgesamt gibt es max. $2^{2i}$ verschiedene Vollkonjunktionen, welche in der \acs{DNF} auftreten können. \newline
Jede dieser Vollkonjunktionen wird mit $2i$ Transistoren realisiert. Jede dieser Vollkonjunktionen wird mit $2i$ Transistoren realisiert.
\item[$\Rightarrow$] Falls alle Vollkonjunktionen verwendet werden müssten, wäre der Hardwareaufwand \newline \item[$\Rightarrow$] Falls alle Vollkonjunktionen verwendet werden müssten, wäre der Hardwareaufwand \newline
$2^{2i}\cdot 2i$ Transistoren.\todo{Evtl. nicht korrekt. Die 15er haben da was anderes...} $2^{2i}\cdot 2i$ Transistoren.\todo{Evtl. nicht korrekt. Die 15er haben da was anderes...}
\end{itemize} \end{itemize}
In der Realität werden natürlich nicht alle Vollkonjunktionen benötigt, sondern ein (vermutlich halbwegs konstanter) Anteil $0 < k < i$. Damit ist der Aufwand für $c_{in_i} = O(i\cdot4^i) \Rightarrow O(i\cdot2^i)$ und somit der Aufwand für $n$-Bit-\acs{CLA-PA}: $O(n^2\cdot2^n)$ In der Realität werden natürlich nicht alle Vollkonjunktionen benötigt, sondern ein (vermutlich halbwegs konstanter) Anteil $0 < k < i$. Damit ist der Aufwand für $c_{in_i} = O(i\cdot4^i)$ und somit der Aufwand für $n$-Bit-\acs{CLA-PA}: $O(n^2\cdot2^n)$
\newpage % Für das Layout
\begin{Achtung}
Im folgenden wird fälschlicherweise von einem Aufwand $O(n^2\cdot 2^n)$ ausgegangen. Richtig wäre $O=(n^2\cdot 4^n)$. Herr Röthig hat die $O$-Notation falsch vereinfacht. Der 2015er Jahrgang hat dies \enquote{noch falscher} gemacht und zu $O(4^n)$ vereinfacht.
\end{Achtung}
Der Hardwareaufwand steigt beim $n$-Bit-\acs{CLA-PA} überexponentiell mit $n$. Der Hardwareaufwand steigt beim $n$-Bit-\acs{CLA-PA} überexponentiell mit $n$.
Beim Wechsel von $32$-Bit auf 64-Bit-\acs{CLA-PA} wäre der 16~Trillionen-fache Aufwand an Transistoren nötig gewesen. Beim Wechsel von $32$-Bit auf 64-Bit-\acs{CLA-PA} wäre der 16~Trillionen-fache Aufwand an Transistoren nötig gewesen.